Course Summary
This course covers the theory of graphs, including graph algorithms and their applications in computer science and other fields. The course also explores graph theory concepts such as connectivity, coloring, and planarity.Key Learning Points
- Learn how to represent and manipulate graphs using advanced algorithms
- Explore real-world applications of graph theory in computer science and beyond
- Understand graph theory concepts and how they relate to other areas of mathematics
Related Topics for further study
Learning Outcomes
- Ability to represent and manipulate graphs using advanced algorithms
- Understanding of graph theory concepts and their applications in computer science and beyond
- Proficiency in solving real-world problems using graph theory principles
Prerequisites or good to have knowledge before taking this course
- Basic understanding of mathematics and algorithms
- Familiarity with programming languages such as Python or Java
Course Difficulty Level
IntermediateCourse Format
- Online
- Self-paced
- Video lectures
- Assignments
Similar Courses
- Data Structures and Algorithms
- Mathematics for Computer Science
Related Education Paths
Related Books
Description
Среди жителей Кёнигсберга была распространена такая практическая головоломка: можно ли пройти по всем мостам через реку Преголя, не проходя ни по одному из них дважды? В 1736 году выдающийся математик Леонард Эйлер заинтересовался задачей и в письме другу привел строгое доказательство того, что сделать это невозможно. В том же году он доказал замечательную формулу, которая связывает число вершин, граней и ребер многогранника в трехмерном пространстве. Формула таинственным образом верна и для графов, которые называются "планарными". Эти два результата заложили основу теории графов и неплохо иллюстрируют направление ее развития по сей день.
Outline
- Введение. Базовые понятия теории графов
- Введение
- МФТИ
- Примеры графов. Граф и его изображение
- Ориентированные графы
- Кёнигсбергские мосты. Мультиграфы
- Граф интернета. Псевдографы
- Определение графа
- Маршруты в графах
- Связность, подграфы
- Степень вершины
- Деревья, эквивалентные определения дерева
- Знакомства
- Число мультиграфов
- Путь в графе
- Перенумерация цикла
- Последовательности степеней
- Замкнутый маршрут
- МФТИ
- Теоретический материал к семинару
- Задачи к семинару
- Решение задач
- Дополнительные задачи к неделе 1
- Конспект лекции 1
- Задание к неделе 1
- Эквивалентные определения дерева. Планарные графы
- Формулировка теоремы. Доказательство первой импликации
- Доказательство второй импликации
- Доказательство третьей импликации
- Доказательство четвертой импликации
- Планарность. Гипотеза о четырех красках
- Примеры непланарных графов
- Критерий Куратовского
- Плоские графы, грани и теорема Жордана
- Формула Эйлера
- Следствие для числа ребер
- Хроматическое число планарных графов
- Доказательство оценки хроматического числа
- Минимальное число ребер
- Число пересечений в полном графе
- Число ребер в планарном графе и формула Эйлера
- Характеризация двудольных графов
- Двудольные планарные графы
- Теоретический материал к семинару
- Задачи к семинару
- Решения задач
- Дополнительные задачи к неделе 2
- Задание к неделе 2
- Формула Кэли. Унициклические графы. Эйлеровы циклы
- Число деревьев
- Доказательство формулы. Кодирование деревьев
- Построение кодов Прюфера
- Взаимно однозначное соответствие кодов и деревьев. Декодирование
- Формула для числа унициклических графов
- Доказательство формулы
- Эйлеровы циклы
- Критерий эйлеровости
- Первая часть доказательства критерия
- Вторая часть доказательства критерия
- Центр дерева
- Деревья с заданной последовательностью степеней
- Код Прюфера из различных чисел
- Число неизоморфных деревьев
- Ориентация графа
- Теоретический материал к семинару
- Задачи к семинару
- Решения задач
- Дополнительные задачи к неделе 3
- Задание к неделе 3
- Гамильтоновы циклы
- Гамильтоновы циклы, теорема Дирака
- Множества соседей концов максимального пути
- Завершение доказательства теоремы Дирака
- Независимые множества
- Вершинная связность. Критерий Хватала
- Доказательство. В графе есть циклы
- Подграф без максимального цикла
- Соседи связной компоненты
- Соседи компоненты и максимальный цикл
- Число соседей больше связности
- Завершение доказательства
- Число гамильтоновых циклов в полном двудольном графе
- Число независимости, связность
- Непересекающиеся гамильтоновы циклы
- Сравнение двух признаков гамильтоновости на конкретном графе. Определение графа
- Работает ли признак Дирака?
- Признак Хватала. Оценка связности через общих соседей
- Число общих соседей
- Примеры независимых множеств, теорема о числе независимости
- Доказательство теоремы
- Связь с теорией кодирования
- Пример гамильтонова графа
- Теоретический материал к семинару
- Задачи к семинару
- Комментарий к лекции
- Решения задач
- Дополнительные задачи к неделе 4
- Задание к неделе 4
- Паросочетания. Теоремы Холла и Кёнига
- Задача о свадьбах. Паросочетания
- Необходимое условие существования паросочетания. Теорема Холла
- Доказательство теоремы Холла. Два случая
- Разбор случая 1
- Разбор случая 2
- Вершинное покрытие, теорема Кёнига
- Первая часть доказательства. Чередующиеся цепи
- Вторая часть доказательства. Разбиение множества вершин
- Третья часть доказательства. Построение вершинного покрытия
- Завершение доказательства. Вершинное покрытие работает
- Теорема Холла из теоремы Кёнига
- Теорема Кёнига из теоремы Холла
- Паросочетания и степени вершин
- Паросочетания в деревьях
- К-регулярный двудольный граф
- Теоретический материал к семинару
- Задачи к семинару
- Решения задач
- Дополнительные задачи к неделе 5
- Задание к неделе 5
- Экстремальная теория графов. Теорема Турана
- Число независимости, кликовое число
- Теорема Турана
- Доказательство теоремы Турана
- Пример графа, на котором оценка Турана достигается
- Теорема Турана в терминах кликового числа
- Задача про графы на плоскости
- Решение задачи
- Двудольный подграф
- Вершинное покрытие для графа без треугольников
- Граф без четных циклов
- Хроматическое число и число независимости
- Хроматическое число и максимальная степень
- Хроматическое число графа и его дополнения
- Теоретический материал к семинару
- Задачи к семинару
- Решения задач
- Дополнительные задачи к неделе 6
- Задание к неделе 6
- Теория Рамсея
- Теорема про знакомства среди шести человек
- Начало доказательства. Применение принципа Дирихле
- Завершение доказательства
- Формулировка в терминах независимых множеств и раскрасок
- Пяти вершин недостаточно
- Определение чисел Рамсея
- Значения R(s,t) для малых s
- Верхняя оценка чисел Рамсея с помощью рекурсии
- Доказательство. Принцип Дирихле
- Завершение доказательства
- Численные верхние оценки чисел Рамсея
- Нижняя оценка числа Рамсея. Что требуется доказать?
- Подсчет графов с большими полными подграфами
- Вычисления. Завершение доказательства теоремы
- Обсуждение нижних оценок
- Число Рамсея для звезды
- Число Рамсея для дерева и полного графа
- Раскраска плоскости
- Монотонные последовательности
- Пути или звезды
- Теоретический материал к семинару
- Задачи к семинару
- Решение задач
- Дополнительные задачи к неделе 7
- Задание к неделе 7
- Экзамен
- Экзамен. Один граф
Summary of User Reviews
The course on Graph Theory on Coursera has received positive reviews from its users. Many found the course to be well-structured and informative, with clear explanations and helpful exercises.Key Aspect Users Liked About This Course
The course is well-structured and informative.Pros from User Reviews
- Clear explanations
- Helpful exercises
- Engaging lectures
- Good balance of theory and practice
- Great for building foundational knowledge
Cons from User Reviews
- Some sections may be too advanced for beginners
- Not enough emphasis on real-world applications
- Limited interaction with instructors
- Some technical difficulties with the platform
- Some users found the pace too slow
Андрей РайгородскийTop Instructor
4.9 Raiting
Теория графов
- 4.9
-
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
Среди жителей Кёнигсберга была распространена такая практическая головоломка: можно ли пройти по всем мостам через реку Преголя, не проходя ни по одному из них дважды?...
Алгебраическая теория графов
- 0.0
-
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
Не секрет, что математика — универсальный язык для исследований. А графы в математике — универсальные высоко симметричные структуры, с помощью которых можно изучать множество объектов различной природы и их свойства....
Теория вероятностей для начинающих
- 4.8
-
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
Теория вероятностей - это, вне всякого сомнения, один из самых важных и богатых приложениями разделов современной математики. В нашем курсе мы познакомим слушателей прежде всего с самыми основами предмета....
Случайные графы
- 4.9
-
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам через реку Преголя, не проходя ни по одному из них дважды....
