Course Summary
Learn about random graphs and their application in various fields such as computer science, physics, social network analysis, and more.Key Learning Points
- Understand the fundamentals of random graphs and their various models
- Learn about the properties and applications of random graphs in various fields
- Explore real-world examples of random graphs and their analysis
Job Positions & Salaries of people who have taken this course might have
- Data Scientist
- USA: $113,309
- India: ₹1,025,466
- Spain: €34,901
- Network Analyst
- USA: $70,000
- India: ₹1,500,000
- Spain: €25,000
- Research Scientist
- USA: $89,000
- India: ₹1,200,000
- Spain: €30,000
Related Topics for further study
Learning Outcomes
- Understand the theory and models of random graphs
- Apply random graph theory in various fields
- Analyze and interpret real-world random graphs
Prerequisites or good to have knowledge before taking this course
- Basic knowledge of graph theory
- Familiarity with programming languages such as Python
Course Difficulty Level
IntermediateCourse Format
- Online self-paced
- Video lectures
- Quizzes and assignments
Similar Courses
- Graph Theory and Algorithms
- Social Network Analysis
- Computational Thinking
Related Education Paths
Notable People in This Field
- Mark Newman
- Albert-László Barabási
- Duncan J. Watts
Related Books
Description
Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам через реку Преголя, не проходя ни по одному из них дважды. Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу как теоретически, так и практически во время прогулок. Доказать или опровергнуть возможность существования такого маршрута никто не мог до 1736 года, когда выдающийся математик Леонард Эйлер не написал письмо своему другу с решением. Ответ был «нельзя». Так и родилась теория графов. Но что будет, если процесс, который описывает граф – случаен?
Outline
- Две модели случайного графа
- МФТИ
- История зарождения понятия случайного графа
- Биномиальная модель случайного графа
- Связность случайного графа на четырех вершинах
- Эволюция случайного графа
- Равномерная модель случайного графа
- Пороговая вероятность для свойства связности: формулировка теоремы
- Нижняя оценка вероятности связности: формулировка теоремы
- Теорема о появлении гигантской компоненты в случайном графе
- Задача о монотонности вероятности
- Задача о промежуточных значениях вероятности
- Задача о дополнительных ребрах
- Задача об одном ребре
- Задача о дереве
- Задача о простом цикле
- МФТИ
- Комментарий к лекции
- Дополнительные задачи
- Конспект лекции
- Задачи к семинару 1
- Итоговые задания по неделе 1
- Теорема о пороговой вероятности для свойства связности
- Вспомогательные утверждения из теории вероятностей
- Напоминание теоремы о пороговой вероятности для свойства связности
- Применение неравенства Чебышева
- Оценивание математического ожидания
- Оценивание дисперсии
- Вероятность существования изолированной вершины
- Разложение случайного графа на компоненты связности
- Оценивание математического ожидания числа компонент связности
- Представление оценки в виде суммы двух слагаемых
- Предел первого слагаемого
- Предел второго слагаемого
- Задача о количестве изолированных вершин в случайном двудольном графе
- Задача о существовании изолированной вершины в случайном двудольном графе
- Задача об одной изолированной вершине
- Задача о количестве вершин степени 1
- Задача о связности случайного графа при большой вероятности проведения ребра
- Комментарий к задаче о существовании изолированной вершины в случайном двудольном графе
- Дополнительные задачи
- Конспект лекции
- Задачи к семинару 2
- Итоговые задания по неделе 2
- Вероятностный метод
- Хроматическое число, число независимости и кликовое число
- Обхват графа
- Теорема о графе с большим обхватом и большим хроматическим числом: формулировка теоремы и идея доказательства
- Введение случайности
- Оценка математического ожидания числа циклов
- Применение неравенства Маркова для оценивания обхвата
- Оценка математического ожидания числа независимых множеств
- Применение неравенства Маркова для оценивания числа независимости
- Существование графа с большим хроматическим числом и малым количеством циклов
- Модификация графа
- Задача о количестве 4-циклов в случайном двудольном графе
- Задача об отсутствии циклов в равномерной модели
- Задача о хроматическом числе случайного графа в равномерной модели
- Задача об оценке числа независимости
- Задача о хроматическом числе случайного графа с 5 ребрами
- Замечание: существование длинных циклов
- Дополнительные задачи
- Конспект лекции
- Задачи к семинару 3
- Итоговые задания по неделе 3
- Хроматическое число случайного графа
- Сравнение двух оценок хроматического числа
- Доказательство теоремы
- Хроматическое число случайного графа без ребер
- Хроматическое число сильно разреженного случайного графа
- Доказательство того, что в случайном разреженном графе отсутствуют циклы
- Хроматическое число случайного графа G(n,c/n)
- Хроматическое число слабо разреженного графа
- Точная асимптотика хроматического числа G(n,0.5)
- Идея доказательства теоремы Боллобаша
- Алгоритм покраски
- Задача о хроматическом числе и обхвате случайного двудольного графа
- Задача о хроматическом числа графа G(6,5)
- Задача о древесных компонентах случайного графа
- Задача об оценке хроматического числа случайного графа специального вида
- Комментарий к лекции: тройка вместо двойки
- Дополнительные задачи
- Конспект лекции
- Задачи к семинару 4
- Итоговые задания по неделе 4
- Алгоритмы на случайном графе
- Определение жадного алгоритма
- Теорема о жадном хроматическом числе и жадном числе независимости случайного графа
- Введение вспомогательного события
- Разложение вспомогательного события в объединение событий
- Оценка вероятности одного события
- Завершение доказательства
- Можно ли улучшить оценку?
- Задача о жадном алгоритме покраски вершин дерева
- Задача о жадном алгоритме покраски вершин случайного двудольного графа
- Задача о жадном алгоритме покраски вершин пути
- Задача о жадном алгоритме покраски вершин случайного графа с циклами
- Забытые графы в последней задаче
- Дополнительные задачи
- Конспект лекции
- Задачи к семинару 5
- Итоговые задания по неделе 5
- Малые подграфы в случайном графе
- Постановка задачи
- Сбалансированные и строго сбалансированные графы
- Теорема о пороговой вероятности
- Доказательство первого утверждения
- Применение неравенства Чебышева
- Представление дисперсии в виде суммы
- Случай непересекающихся множеств
- Два непересекающихся множества
- Оценка суммы
- Оценка каждого члена суммы
- Задача о сбалансированных лесах
- Задача о количестве автоморфизмов графа
- Задача об одном подграфе на 4 вершинах и не менее 5 ребрах
- Задача о треугольной компоненте
- Задача о дисперсии количества полных графов на 5 вершинах
- Ошибка в перестановках деревьев
- Дополнительные задачи
- Конспект лекции
- Задачи к семинару 6
- Итоговые задания по неделе 6
- Итоговый тест
- Повторите пройденный материал перед прохождением итогового теста
- Задания
Summary of User Reviews
This course on random graphs has received positive reviews for its engaging content and knowledgeable instructors. Users have highlighted the practical applications of the course material, making it relevant for both academics and professionals alike.Key Aspect Users Liked About This Course
practical applications of the course materialPros from User Reviews
- Engaging content
- Knowledgeable instructors
- Practical applications of the course material
- Relevant for both academics and professionals
Cons from User Reviews
- Some users found the pace of the course to be too fast
- Limited opportunities for interaction with instructors
- Some users felt that the course should have covered more advanced topics
- The course may be too basic for those with prior knowledge of random graphs
Андрей РайгородскийTop Instructor
4.9 Raiting
Дискретная математика: подсчеты, графы, случайные блуждания
- 0.0
-
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
Основная цель курса — дать введение в разделы дискретной математики, важные для анализа данных. Мы начнем с краткого введения в комбинаторику, раздел математики, изучающий подсчеты....
Случайные графы
- 4.9
-
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам через реку Преголя, не проходя ни по одному из них дважды....
