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Introduction à la théorie de Galois

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Course Summary

This course provides an introduction to Galois Theory, which is a branch of abstract algebra that deals with the study of algebraic equations and their solutions.

Key Learning Points

Understand the fundamental concepts of Galois Theory including field extensions, Galois groups, and solvability by radicals.
Explore the connections between Galois Theory and other areas of mathematics such as number theory and algebraic geometry.
Learn how to apply Galois Theory to solve problems in algebra and geometry.

Learning Outcomes

Understand the basic principles of Galois Theory and its applications in mathematics.
Develop problem-solving skills in algebra and geometry using Galois Theory.
Gain the ability to apply Galois Theory to other areas of mathematics such as number theory and algebraic geometry.

Prerequisites or good to have knowledge before taking this course

Basic knowledge of abstract algebra
Familiarity with mathematical proofs

Course Difficulty Level

Intermediate

Course Format

Online
Self-paced
Video lectures
Assignments and quizzes

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Évariste Galois
Emil Artin

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Description

Le cours expose la théorie de Galois, du classique critère de non-résolubilité des équations polynomiales aux méthodes plus avancées de calcul de groupes de Galois par réduction modulo un nombre premier.

Le thème général de cette théorie est l'étude des racines d'un polynôme et concerne en particulier la possibilité de les exprimer à partir des coefficients de ce polynôme. Evariste Galois considère les symétries de ces racines et associe ainsi à ce polynôme un groupe de permutations de ses racines, que l'on appelle maintenant son groupe de Galois. Il dégage à cette occasion pour la première fois, dans ce cadre, la notion de groupe, maintenant omniprésente en mathématiques. Son étude lui permet d'expliquer pourquoi les racines d'une équation prise au hasard ne s'expriment en général pas par des formules algébriques faisant intervenir ses coefficients à partir du degré 5, un résultat démontré auparavant par Abel. Plus généralement, l'étude du groupe de Galois du polynôme permet de dire exactement quand une telle formule existe. C'est ce que l'on appelle la correspondance de Galois : elle relie d'une part la théorie des corps, d'autre part la théorie des groupes.Ce cours expliquera cette théorie en n'utilisant que des résultats de base d'algèbre linéaire. Nous étudierons d'un côté la théorie des corps, c'est-à-dire la façon dont les corps s'emboîtent les uns dans les autres, en introduisant la notion de nombre algébrique (essentiellement les racines de polynômes). D'un autre côté, nous introduirons les éléments nécessaires à l'étude des groupes de permutations. Cela nous permettra d'expliquer la théorie de Galois, non seulement dans son cadre d'origine, c'est-à-dire quand les coefficients du polynôme sont des nombres entiers, mais aussi dans un cadre plus général, par exemple lorsqu'on réduit ces coefficients modulo un nombre premier p. Le cours culminera avec une comparaison des groupes de Galois dans ces deux situations (« entière » et après réduction modulo p), fournissant ainsi un outil de calcul puissant de ces groupes. Ce cours est l'occasion d'aborder des notions d'algèbre variées, essentielles dans de nombreux domaines des mathématiques, de manière très simple pour très rapidement aboutir à des résultats tout à fait remarquables. Nous n'avons pas cherché la généralité maximale mais au contraire à aller rapidement à l'essentiel en utilisant le minimum de formalisme abstrait. Le FLOTeur intéressé sera alors armé pour aller plus loin, notamment grâce à la bibliographie ou à des cours plus avancés.

Outline

Introduction
Vidéo 1 : présentation
Vidéo 2 : survol historique
Vidéo 3 : polynômes
Vidéo 4 : polynômes, suite
Vidéo 5 : caractéristique
Déroulement du cours
Textes complémentaires
Validation du cours
Documents de la Semaine 1

Extensions de corps
Vidéo 1 : algébricité, transcendance
Vidéo 2 : extensions de corps
Vidéo 3 : extensions de corps, suite
Vidéo 4 : corps algébriquement clos
Vidéo 5 : élément primitif
Complément sur les espaces vectoriels
Documents de la Semaine 2

Polynôme minimal
Vidéo 1 : polynôme minimal et conjugués
Vidéo 2 : extensions de corps et conjugués
Documents de la Semaine 3

Corps fini
Vidéo 1 : corps finis
Vidéo 2 : élément primitif et corps finis
Vidéo 3 : construction de corps finis
Documents de la Semaine 4

Théorie des groupes I
Vidéo 1 : théorie des groupes
Vidéo 2 : groupes quotients
Corrigé de l'évaluation n°1
Documents de la Semaine 5

Correspondance de Galois
Vidéo 1 : correspondance de Galois
Vidéo 2 : extensions galoisiennes
Vidéo 3 : correspondance de Galois, suite
Vidéo 4 : Galois et groupe symétrique
Vidéo 5 : Galois pour les corps finis
Documents de la Semaine 6

Théorie des groupes II
Vidéo 1 : groupes résolubles
Complément I sur les sous-groupes transitifs résolubles de Sp
Complément II sur les sous-groupes transitifs résolubles de Sp
Documents de la Semaine 7

Cyclotomie I
Vidéo 1 : cyclotomie
Vidéo 2 : théorie de Kummer
Complément : deux exemples de calcul
Documents de la Semaine 8

Théorèmes de résolubilité de Galois
Vidéo 1 : critère de résolubilité I
Vidéo 2 : critère de résolubilité II
Vidéo 3 : le cas des équations de degré premier
Complément sur les anneaux quotients et idéaux
Documents de la Semaine 9

Réduction mod p
Vidéo 1 : réduction mod p faible
Vidéo 2 : réduction mod p forte
Complément : retour sur un exemple de calcul
Complément sur le théorème de Cebotarev
Corrigé de l'évaluation n°2
Documents de la Semaine 10

Compléments
Vidéo 1 : exemples de calculs
Vidéo 2: cyclotomie sur Q
Documents de la Semaine 11

Summary of User Reviews

Discover the beauty of Galois Theory and its applications in solving mathematical problems with this course. Users highly recommend it for its clear explanations and interactive exercises.

Key Aspect Users Liked About This Course

Clear explanations

Pros from User Reviews

Interactive exercises for better understanding
Engaging and knowledgeable instructor
In-depth coverage of Galois Theory
Great preparation for advanced mathematical topics
Excellent resources provided

Cons from User Reviews

Requires solid background in abstract algebra
Challenging for beginners in mathematics
Lack of practical applications
Limited interaction with other students
Not suitable for self-paced learning

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